Анне Вески родилась в Рапла, Эстонская ССР. Там же она окончила музыкальную школу, после которой поступила в Таллинский Политехнический институт. По окончании обучения была принята на работу в эстрадную студию при филармонии, где стала выступать с ансамблем «Мобиле».
Первая эстрадная композиция (1980) — «Королева розового сада».
Сольную карьеру Анне начинает в 1984, организовав ансамбль «Немо». В 1984 году на международном музыкальном фестивале в Сопоте Анне Вески получила две премии: за песню Позади крутой поворот и за лучшее исполнение...